Química

Regresión lineal

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Covarianza del coeficiente de regresión

Se da una función de regresión

y^=a1+a2X.

¿Son los coeficientes de regresión a1 y a2 dependiendo el uno del otro, entonces la covarianza debe cov(a^1,a^2) en la estimación del error de los coeficientes de regresión a^1 y a^2 debe ser tomado en cuenta. La matriz de covarianza

C.=S.2(a^1)cov(a^1,a^2)cov(a^2,a^1)S.2(a^2)

es con la matriz normal inversa GRAMOTGRAMO-1 relacionado de la siguiente manera

C.=s2(y)GRAMOTGRAMO-1

Está

s2(y)=metrometro-2σ2(y)=1metro-2I=1metromiI2=1metro-2I=1metroyI-a^1-a^2XI2

la mejor estimación de la varianza de una sola medición yI y

GRAMOTGRAMO-1=1metroI=1metroXI2-I=1metroXI2I=1metroXI2-I=1metroXI-I=1metroXImetro.

Los elementos diagonales de la matriz simétrica C. dan los errores cuadrados (varianzas) de los coeficientes de regresión de los cuadrados más pequeños, los elementos fuera de la diagonal dan las covarianzas.

Ejemplo

La isoterma BET para la adsorción de un material en una superficie da la siguiente relación lineal de la forma con z como independiente y z/(1-z)V como la variable dependiente observada

z(1-z)V=1CVLun+(C-1)CVLunz,

por lo cual z=pag/pag* es (pag= Presión de equilibrio, pag*= Presión de vapor del líquido compacto, V= Volumen de material adsorbido, VLun= Volumen de material adsorbido para un sustrato cubierto con una monocapa, C=kak'D/(k'akD), ka respectivamente. kD son las constantes de velocidad de adsorción y desorción, respectivamente, de la primera capa y k'a respectivamente. k'D son los de las otras capas).

De los coeficientes de regresión

a^1=1CVLunya^2=(C-1)CVLun

obtienes los parámetros que estás buscando

C=1+a^2a^1yVLun=1a^1+a^2.

De se puede ver que los coeficientes de regresión son interdependientes, con lo cual cov(a^1,a^2) para el cálculo de errores de los parámetros C y VLun es necesario. Los errores S.(C) y S.(VLun) están con las variaciones (errores cuadrados) S.2(a^1) y S.2(a^2) y la covarianza cov(a^1,a^2) relacionados de la siguiente manera.

S.2(C)=Ca^12S.2(a^1)+Ca^22S.2(a^2)+2Ca^1Ca^2cov(a^1,a^2)S.2(VLun)=VLuna^12S.2(a^1)+VLuna^22S.2(a^2)+2VLuna^1VLuna^2cov(a^1,a^2)

Las derivadas parciales se calculan usando.

Ca^1=-a^2a^12Ca^2=1a^1VLuna^1=-1(a^1+a^2)2VLuna^2=-1(a^1+a^2)2

Sin tener en cuenta la covarianza, los errores cuadrados serían

S.2(C)=Ca^12S.2(a^1)+Ca^22S.2(a^2)yS.2(VLun)=VLuna^12S.2(a^1)+VLuna^22S.2(a^2).

El seguimiento pag- y VSe midieron los valores:

Tab.1
Lecturas (pag*=760mbar)
pag/mbarV/cm3zz(1-z)V/cm-3
1,694067570,8513920,0022293.913480e-06
18,1441718,9966890,0238743.401645e-05
61,788776884,7286640,0813010,000100
108,254883906,7106110,1424410,000183
161,0822631054,5793570,211950,000255
218,958721183,4183170,2881040,000342
237,6499991220,0758960,3126970,000373

Los coeficientes de regresión calculados para los datos tabulares son

a^1=0,5591410-5ya^2=0,0011782.

La matriz de covarianza es

C.=0,9973510-11-0,4185910-10-0,4185910-100,2757510-9.

Los errores de los coeficientes de regresión son

S.(a^1)=C.110,3158110-5yS.(a^2)=C.220,000016606.

Significa y son

C^=211,71yV^Lun=844,77cm3.

Los errores de parámetro sin covarianza están de acuerdo con

S.(C^)=121,39yS.(V^Lun)=10,143cm3.

Los errores de los parámetros con covarianza son según

S.(C^)=119,05yS.(V^Lun)=12,063cm3.

En este caso, las diferencias entre y son pequeñas, pero el ejemplo ilustra el concepto.


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